Roots of Unity

定义 Definition

“单位根”（复数范围内）：满足 \(z^n=1\) 的所有复数解（其中 \(n\) 为正整数）。这些解位于复平面单位圆上，等角分布，共有 \(n\) 个。

发音 Pronunciation

/ˌruːts əv ˈjuːnɪti/

例句 Examples

The roots of unity for \(n=4\) are \(1, i, -1,\) and \(-i\).
当 \(n=4\) 时，单位根是 \(1, i, -1\) 和 \(-i\)。

In Fourier analysis, roots of unity help diagonalize circulant matrices and simplify discrete transforms.
在傅里叶分析中，单位根有助于将循环矩阵对角化，并简化离散变换。

词源 Etymology

“root” 在数学中指“方程的解/根”（如 “root of an equation”），而 “unity” 指“1（单位）”。因此 “roots of unity” 字面意思是“1 的方程之根”，即方程 \(x^n=1\) 的解。该概念在代数方程、数论与复分析的发展中逐渐固定为专门术语。

相关词 Related Words

• Complex
• Polynomial
• Equation
• Primitive
• Cyclotomic
• Fourier
• Transform
• Eigenvalue

文学与名著用例 Notable Works

• Disquisitiones Arithmeticae（高斯）：与“圆分”（cyclotomy）及相关的单位根结构密切相关。
• Introductio in analysin infinitorum（欧拉）：在讨论复数与指数形式时涉及与单位根相关的思想。
• A Treatise on the Theory of Equations（Burnside & Panton）：在多项式方程与根的理论中讨论单位根及其性质。
• Algebra（Serge Lang）：在抽象代数与数论背景下系统出现“roots of unity”这一术语与定理。